#probability #computer_science

משפט ההסתברות השלמה וחוק בייס

משפט ההסתברות השלמה וחוקי בייס נובעים מ חוק הכפל .

משפט ההסתברות השלמה

יהי $A_{1}, \dots, A_{n}$ מאורעות זרים שמהווים חלוקה של מרחב המדגם (במילים אחרות, כל תוצאה אפשרית שייכת לבידיוק אחת מהמאורעות הנ״ל). נניח גם ש $\forall_{i \in [n]} : P (A_{i}) > 0$ . אזי למאורע $B$ יתקיים:

P (B) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i} \cap B) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (B | A_{i})

החוק הזה מאוד שימושי במדעי המחשב שכן משתמש בו כדי לחשב הסתברויות של מאורעות שונים בשיטת אלגוריתם פיבונאצי .
באופן אינטואיטיבי אנחנו מחלקים את מרחב המדגם לחלוקה של מספר מאורעות, לאחר מכן מכניסים את המאורע $B$ והוא יהיה הממוצע המשוקלל של ההסתברויות המותנת שלו תחת המאורעות שמהווים חלוקה (נוכל לבחור חלוקה כזאת בעצמנו ולנצל את התכונה הזאת).
Pasted image 20221106150140.png|450
התרשים בצד ימין מתאר את האניטואצייה שדיברתי עליה למעלה והתרשים בצד שמאל מסביר למה הנוסחה שמתארת את $P (B)$ נכונה.

דוגמאות לשימוש במשפט ההסתברות השלמה

נכנסת לטורניר שחמט וההסתברות שלך לנצח במשחק שם היא 0.3 מול חצי מהשחקים (נקרא להם t1). 0.4 נגד רבע מהשחקים (t2) ו 0.5 נגד הרבע הנותרים. נבחר שחקן באקראי מולו תתמודד, מה הסיכוי שלך לנצח
נגדיר את החלוקה להיות מהאורעות $A_{1, 2, 3}$ שאלו המאורעות לשחק מול שחקן מסוג מסוים.
וכעת נגדיר את מאורע הנצחון $B$
אנחנו יודעים מהו $P (A_{i})$ לפי היחס של כל אחד מסוגי השחקנים ביחס לכולם. ואנחנו יודעים מהי ההסתברות של $P (B | A_{i})$ כי נתון.
מכאן נוכל להשתמש בנוסחה ולקבל

P (B) = \sum_{i = 1}^{3} P (A_{i} \cap B) = \sum_{i = 1}^{3} P (A_{i}) P (B | A_{i}) = 0.375

מטילים קובייה הוגנת עם 4 פאות. אם התוצאה היא $1$ או $2$ אז מטילים פעם אחת נוספת , אחרת מפסיקים. מהי ההסתברות שסכום ההטלות הוא לפחות 4?
בגלל שהקובייה הוגנת אז לכל מספר שיצא ההסתברות היא $\frac{1}{4}$ בהטלה הראשונה . נגדיר מאורע $B$ שהוא מה שנרצה לחשב.
נגדיר $A_{i}$ המאורע שיצא $i$ בהטלה הראשונה. כעת יתקיים

P (B | A_{1}) = \frac{1}{2}, P (B | A_{2}) = \frac{3}{4}, P (B | A_{3}) = 0, P (B | A_{4}) = 1

ומפה לא בעיה לחשב.

חוק בייס

נוסחת ההסתברות השלמה באה ביחד עם המשפט הבא שמתקשר גם הוא להסתברות מותנת. החוק הזה מקשר בין $P (B | A)$ עם $P (A | B)$ כלומר ההסתברות המותנת ההפוכה.
יהי $A_{1}, \dots, A_{n}$ מאורעות זרים שמהווים חלוקה של מרחב המדגם (במילים אחרות, כל תוצאה אפשרית שייכת לבידיוק אחת מהמאורעות הנ״ל). נניח גם ש $\forall_{i \in [n]} : P (A_{i}) > 0$ . אזי למאורע $B$ שהסתברותו גדולה מ0 יתקיים:

P (A_{i} | B) = \frac{P (A_{i}) P (B | A_{i})}{P (B)} = \frac{P (A_{i}) P (B | A_{i})}{\sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) P (B | A_{i})}

Pasted image 20221106160256.png|450
דוגמה לשימוש בחוק בייס:
התמונה מתארת צילום x-ray של אדם עם גידול $B$ זה מאורע שמתאר את האפקט שאותו אדם חווה ומרחב המדגם מחולק לכל המאורעות האפשריים שיכולים להיות לו.
בהנחה ואנחנו יודעים מה ההסתברויות המותנות נרצה לקבל את ההסתברות למחלה $A_{i}$ בהינתן הסימפטום $B$ . נוכל לגלות לפי חוק בייס בידיוק את זה.