#abstract_algebra #computer_science

תתי חבורות

הגדרה: תהי $G$ חבורה ו $H \subseteq G$ . $H$ תהיה חבורה אם היא מקיימת את 4 תכונות החבורה ביחס לפעולה $G$ .

קריטריון מקוצר

תהיה חבורה $G$ ותהי $H \subseteq G$ אזי $H$ תת חבורה של $G$ אם ורק אם :

$e_{G} \in H$
$ֿ \forall_{a, b \in H} : a b^{- 1} \in H$

נוכיח את שתי הכיוונים, ראשית, נניח כי $H \leq G$ ולכן קיים $e_{H} \in H$ ניטרלי:

\begin{matrix} e_{H} \cdot e_{G} = e_{H} \\ e_{H} \cdot e_{G} = e_{H} \cdot e_{H} \\ e_{G} = e_{H} \end{matrix}

נרצה להוכיח גם את התנאי השני לקריטריון המקוצר
בהינתן $a, b \in H$ נרצה להוכיח ש $b^{- 1} \in H$ . כיוון ש $H$ חבורה אז יש לה הופכי כלשהו נסמנו $\overset{―}{b}$ ויתקיים

\begin{matrix} b \cdot \overset{―}{b} = e_{H} = e_{g} = b \cdot b^{- 1} \\ b \cdot \overset{―}{b} = b \cdot b^{- 1} \\ \overset{―}{b} = b^{- 1} \end{matrix}

מסגירות החבורה מתקיים כפל של שני איברים בחבורה גם כן שייך לחבורה שזה מה שרצינו.

כעת, לכיוון השני, בהינתן ששתי הקריטריונים האלה מתקיים על $H \subseteq G$ נוכיח את ארבעת הקריטריונים

$e_{G} \in H$ קיבלנו מקריטריון ולכן זהו האיבר הניטרלי של כל איברי $H$ עם הפעולה של $G$ .
אסוציטיביות מתקיימת בגלל ששלושה איברים ב $H$ הם גם שלושה איברים ב $G$ .
הופכי: עבור $a \in H$ אנחנו יודעים ש $e_{G} \in H$ ולכן לפי התנאי השני של הקריטריון המקוצר

e_{G} \cdot a^{- 1} \in H \leftrightarrow a^{- 1} \in H

סגירות: עבור $a, b \in H$ אנחנו יודעים שגם ההופכי של $b$ שייך ל $H$ ולכן לפי קריטריון 2 :

a \cdot (b^{- 1})^{- 1} \in H \leftrightarrow a \cdot b \in H

דוגמאות לתתי חבורות

א) תת החבורה הטריוויאלית $H = {e}$
ב) ביחס לשדה $F$ נגדיר

S L_{n} (F) = {A \in G L_{n} | det (A) = 1}

כלומר חבורת כל המטריצות ההפיכות עם דטרמיננטה 1.
נוכיח את הטענה שהיא תת חבורה באמצעות הקריטריות המקוצר:
ראשית מהגדרה של דטרמיננטה אנחנו יודעים ש $I_{n} \in S L_{n} (F)$ כי הדטרמיננטה של מטריצת היחידה היא $1$ , וזה איבר היחידה של חבורת המטריצות ההפיכות.
כעת, בהינתן $A, B \in S L_{n} (F)$ נרצה להוכיח ש

A B^{- 1} \in S L_{n} (F)

אם כן יתקיים

det (A B^{- 1}) = det (A) det (B^{- 1}) = det (A) \frac{1}{det (B)} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1

ולכן לפי הקריטריון המקוצר זאת אכן תת חבורה.
תת חבורה זאת נקראת החבורה הליניארית המיוחדת מדרגה $n$

ג) $\forall_{n \in N} : n \cdot Z \leq Z$
טענה חשובה על תת החבורה הזאת היא ש $m Z \leq n Z \leftrightarrow n | m$ .
נוכיח אותה, $\leftarrow$ בכיוון הראשון, אם $n | m$ אז $k n = m$ כעת נוכיח לפי הקריטריון המקוצר.
$0 \in n Z$ כלומר $0 | n$ כפי שאפס מחלק כל מספר ולכן הוא גם מחלק את $m$ .
יהי $a, b \in m Z$ , אז יתקיים ש

a = k_{1} m b = k_{2} m

מהגדרת החבורה. כמו כן כיוון שכבר הראנו ש $0$ הינו בחבורה,
סך הכל יתקיים תחת פעולת החיבור:

a + b^{- 1} = k_{1} m - k_{2} m = (k_{1} - k_{2}) m

ולכן הוא גם שייך לתת חבורה כדרוש.

$\to$ : אם $m Z \leq n Z$ אז הכיוון פשוט , יהי איבר $m k \in m Z$ ובגלל שהוא תת חבורה של $n Z$ אז

m k \in n Z \to m = n t \to n | m

ד) עבור חבורה $G$ יתקיים ש $Z (G) \leq G$ תת חבורה אבלית. כלומר המרכז הוא תת חבורה.