#linear_algebra

ערכים ווקטורים עצמיים

$λ$ ייקרא ערך עצמי של $A$ אם קיים $v \neq 0$ כך ש

A \cdot v = λ \cdot v

במקרה כזה $v$ הוא ו״ע של $A$ עבור ערך עצמי $λ$ .

משפט תהי $A$ מטריצה ריבועית אזי היא לא הפיכה אמ״מ יש לה ע״ע שערכו $0$ .

משפט תהי $A$ מטריצה ריבועית , $λ$ ע״ע של $A$ אמ״מ $| λ \cdot I - A | = 0$
נגדיר ש $| λ I - A |$ נקרא הפולינום האופייני ונסמנו $P_{A} (λ)$ .

המרחב העצמי של $A$ ביחס ל $λ$ הוא מרחב ה $0$ של הפולינום האופייני והוא מהווה את מרחב הוקטורים העצמיים ביחס לע״ע $λ$ . כלומר,

V_{λ} = {v \in R^{n} | A v = λ v} = N (λ I - A)

משפט ו״ע של ע״ע שונים הם בלתי תלויים ליניארית, כלומר שאין ״חפיפה״ בין המרחבים העצמיים של $A$ (חוץ מוקטור ה0). במונחים מתמטים זה אומר שאיחוד הבסיסים של המרחבים העצמיים לכל ערך עצמי הם בת״ל .

ע״ע של אופרטור ליניארי

תהי $T : V \to V$ או״פ. נאמר ש $λ$ ע״ע של $T$ אם קיים $v \in V$ כך ש $T (v) = λ \cdot v$ וזה יתקיים אם $λ$ יהיה ערך עצמי של $[T]_{B}^{B}$ כאשר $B$ בסיס סדור ל $V$ . (כמובן שהו״ע זהים).

דמיון מטריצות

תהיינה $A, B \in F^{n \times n}$ , נאמר ש $A$ דומה ל $B$ (סימון $A \sim B$ )אם קיימת מטריצה $P$ הפיכה כך ש :

P^{- 1} A P = B

דמיון מטריצות הוא יחס שקילות

תכונות המטריצות הדומות

$| A | = | B |$
$t r a c e (A) = t r a c e (B)$
$r a n k (A) = r a n k (B)$
$P_{A} (λ) = P_{B} (λ)$

משפט דמיון מטריצות שומר על חזקה כלומר $A \sim B$ אז $A^{k} \sim B^{k}$ ויתרה מכך, אותה מטריצה $P$ היא ההפיכה שתאפשר את הדמיון בינהן.

נשים לב, מטריצות המייצגות את אותה העתקה (כשהמטריצות מייצגות לפי בסיס אחד) הן תמיד דומות כי :

[T]_{B} = [I]_{C}^{B} \cdot [T]_{C}^{C} \cdot [I]_{B}^{C}

ואנחנו יודעים ש $[I]_{C}^{B} = ([I]_{B}^{C})^{- 1}$ .

תכונות הפולינום האופייני

שורשי הפולינום האופייני הם ה ע״ע של $A$ .
הפולינום הוא פולינום מתוקן מדרגה $n$ (כלומר המקדם המוביל הוא 1)
נסמן

P_{A} (λ) = λ^{n} + a_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0}

יתקיים
$a_{n - 1} = - t r (A)$ , $a_{0} = (- 1)^{n} det (A)$

טענה : שורשים לא ממשיים של פ״א באים בזוגות , המספר והצמוד שלו , אם $p (z) = 0$ אז גם $p (\overset{―}{z}) = 0$