#linear_algebra

Determinant

דטרמיננטה לפי תמורה

תמורה היא פונקצייה חח״ע ועל $σ : [n] \to [n]$ . אוסף התמורות על $n$ איברים מסומן כ $S_{n}$ ועוצמתו היא $n!$ .
בתמורה ישנו מצב של חילוף סדר שמשמעו

(i < j) \land (σ (i) > σ (j))

לכל תמורה יש סימן התלוי במספר חילופי הסדר, נסמן את מספר חילופי הסדר ב $k$ ויתקיים

s i g n (σ) = (- 1)^{k}

וכעת נוכל להגדיר את הדטרמיננטה

det : F^{n \times n} \to F

\forall_{A \in F^{n \times n}} : det (A) = | A | = \sum_{σ \in S_{n}} s i g n (σ) \cdot Π_{i \in [n]} A_{i σ (i)}

משפט : דטרמיננטה של מטריצה $2 \times 2$ היא

det (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{matrix}) = a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3}

משפט : אם מטריצה ריבועית $A$ משולשית עליונה או תחתונה אזי

det (A) = Π_{i = 1}^{n} A_{i i}

מכפלת איברי האלכסון.

פעולות על דטרמיננטות

משפט : מטריצה היא ליניארית בשורה כלומר

det (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ u \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) + α \cdot det (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ w \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = det (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ u + α w \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix})

משפט : אם למטריצה $A$ יש שתי שורות זהות או יותר, או שיש לה שורת אפסים, אז הדטרמיננטה שלה היא $0$ .

השפעת פעולות שורה על דטרמיננטה

תהי $A$ ותהי $B$ מטריצות ריבועיות כאשר $B$ מתקבלת מ $A$ ע״י פעולת שורה אלמנטרית $p$ . אזי:

$p = α R_{i}$ אזי: $| B | = α | A |$
$p = R_{i} \leftrightarrow R_{j}$ אזי: $| B | = - | A |$
$p = R_{i} + α R_{j}$ אזי $| B | = | A |$

משפט : תהי $A$ מטריצה ריבועית ומטריצה אלמנטרית $p (I)$ אזי

| p (I) A | = | p (I) | \cdot | A |

תזכורת- המטריצה $p (A)$ המתקבלת מאוסף פעולות שורה $p$ על $A$ זה שקול ל $p (I) \cdot A$ כלומר להפעיל את אותן פעולות על מטריצת היחידה ואז להכפיל ב $A$ .

מסקנה - נוכל להכפיל את $A$ ב $k$ מטריצות אלמנטיות (משמאל) ועדיין נוכל לפתוח את הדטרמיננטה.

משפט: $A$ הפיכה אמ״מ $det (A) \neq 0$

אריתמטיקה של דטרמיננטות

\begin{matrix} | A B | = | A | \cdot | B | = | B A | \\ | A | = | A^{t} | \\ | α A | = α^{n} | A | \\ | A^{- 1} | = | A |^{- 1} \\ | A^{k} | = | A |^{k} \end{matrix}

( $k$ הוא מספר, $t$ זה האופרטור transform).

מסקנה : בגלל שדטרמיננטה של מטריצה שווה ל transpose שלה, הפעלת פעולות שורה לצורך חישוב דטרמיננטה היא אפשרית ותשפיע על הדטרמיננטה באותו אופן שהפעולת שורה השקולה לה במטריצה המשוחלפת הייתה משפיעה.

דיטרמיננטות לפי מינורים

מינור - מסומן כ $M_{i j}$ והוא מתקבל על ידי מחיקת שורה $i$ ועמודה $j$ ממטריצה כלשהי $A$ (לאו דווקא ריבועית).
כעת , תהי $A \in F^{n \times n}$ אזי :

פיתוח לפי השורה ה $i$

det (A) = \sum_{j = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i j} det (M_{i j})

כלומר , נבחר שורה שנרצה להשמיט מהחישוב, ניקח את המיקום שלה , ונחשב את הדטרמינטטות של המינורים המתקבלים משורה זה עם כל עמודות המטריצה.

פיתוח לפי העמודה ה $j$

det (A) = \sum_{i = 1}^{n} (- 1)^{i + j} a_{i j} det (M_{i j})

הרעיון אותו רעיון.

דטרמינטטה של מטריצות מייצגות אופרטורים ליניאריים

יהי $T : V \to V$ או״פ ויהי $B$ בסיס ל $V$ .

det (T) = det [T]_{B}^{B}

ההוכחה פשוטה, נראה שלכל שני בסיסיים כלליים שנבחר, $B, C$ הדטרמיננטה תהיה זהה

[T]_{C}^{C} = [I]_{C}^{B} \cdot [T]_{B}^{B} \cdot [I]_{B}^{C}

בגלל שההופכית של העתקת הזהות היא העתקת הזהות עצמה, נסמן $p = [I]_{C}^{B}$ ולפי הגדרת המטריצה המייצגת את ההעתקה יתקיים $p^{- 1} = [I]_{B}^{C}$ . כעת ,

| [T]_{C}^{C} | = | [I]_{C}^{B} \cdot [T]_{B}^{B} \cdot [I]_{B}^{C} | = | p | \cdot | [T]_{B}^{B} | \cdot | p^{- 1} | = | p | \cdot \frac{1}{| p |} \cdot | [T]_{B}^{B} | = | [T]_{B}^{B} |