#calculus #computer_science

פונקציות עם שני משתנים

פונקציות מ $f : R^{2} \to R$ והגרף חי בעולם תלת מימדי.
למשל $f (x, y) = x^{2} + y^{2}$
Pasted image 20220718004817.png|350

ההתעסקות בסיכום זה תהיה בעיקר על דברים טכנים מהצורה

גבולות
רציפות
נגזרות חלקיות
נגזרות כיווניות
דיפרנציאביליות
נקודות קיצון
אינטגרלים

גבולות

$lim_{(x, y) \to (a, b)} f (x, y)$ קיים אם ורק אם בכל מסלול שבו מתקדמים אל הנקודה במרחב שלו, יש את אותו הגבול. זאת ההגדרה לפי היינה שמבקשת שלכל סדרת נקודות המתקדמות ל $(a, b)$ הפעלת הפונקצייה אליהן תתקרב לגבול.

כלומר כדי להראות שגבול מסויים לא קיים , מספיק למצוא שני מסלולים שונים של הנקודה שבהם מקבלים גבולים שונים. נוכל להפריך על ידי חישוב הגבול לאורך הצירים, אם לאורכם יש גבולות שונים, סיימנו, אחרת נשווה את הגבול המתקבל לאורך ציר כלשהו לבין הגבול המתקבל לאורך תנודה על ישר כלשהו $y = m x^{n}$ .

למשל

lim_{(x, y) \to 0} \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}

לאורך הצירים הגבול הוא $0$ בשניהם , עבור $y = 4 x$ נקבל גבול אחר , נקבל $\frac{4 x^{2}}{17 x^{2}} = \frac{4}{17}$ שזה שונה מ0 ולכן הגבול לא קיים.
Pasted image 20220718011111.png|500

איך מראים שיש גבול

הצבת ערך הנקודה
הצבת נעלם כדי לעבוד עם גבול של משתנה 1
משפט הסנדוויץ לגבולות (אי שיוויון המשולש), להראות שהערך המוחלט שואף ל0 ולכן גם הגבול בלי ערך מוחלט לפי משפט.

רציפות

$f (x, y)$ רציפה ב $(a, b)$ אם $lim_{(x, y) \to (a, b)} = f (a, b)$ .
משפט אם הנגזירות החלקיות (נגדיר תיכף) קיימות ורציפות, אז הפונקציה דיפרנציאלית (יש לה מישור משיק) ולכן רציפה.

גזירות ונגזרות חלקיות

בנגזרות חלקיות מחליטים לפי איזה נעלם לגזור כלומר יש שני נגזרות

\begin{matrix} f_{x} = \frac{d f}{d x} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h, y) - f (x, y)}{h} \\ f_{y} = \frac{d f}{d y} = lim_{h \to 0} \frac{f (x, y + h) - f (x, y)}{h} \end{matrix}

בנגזרת החלקית לפי הגדרה משתמשים בפונקציות מפוצלות.

פונקצייה גזירה שאינה רציפה

בניגוד למה שלמדנו במשתנה אחד, היחס בין גזירות ורציפות הוא לא מחייב, פונקצייה יכולה להיות גזירה אך לא רציפה למשל:

f (x, y) = {\begin{cases} \frac{x}{x^{2} + y^{2}} & (x, y) \neq 0 \\ 0 & e l s e \end{cases}

נגזרת בפונקצייה עם שתי משתנים מתאר מישור משיק כלומר צריך להיות לה בסביבת הנקודה קירוב ליניארי..
מכאן מגיע מושג הגרדיאנט

▽ f = (\begin{matrix} f_{x} \\ f_{y} \end{matrix})

וקטור הנגזרות החלקיות.

נשים לב, בניגוד למשתנה אחד שבו הנגזרת מתארת את השוני של $f$ בנקודה מסויימת- עלייה , ירידה ובאיזה תלילות..
בשני משתנים יש אינסוף כיוונים בהם אפשר להתקדם לנקודה מסויימת, כאן נכנס המונח של נגזרת כיוונית. (מתוארת באמצעות וקטור כיוון).

▽ f (x_{0}, y_{0}) \cdot \overset{―}{u}

כאשר $\overset{―}{u}$ הוא וקטור מנורמל. זאת נוסחה המתארת את הנגזרת הכיוונית ביחס לוקטור הזה.

הדבר היחיד חשוב לזכור כאן, היא שכדי לקבל את העלייה הכי תלולה צריך שוקטור הכיוון יהיה בכיוון הגרדיאנט (כי אז לפי מכפלה סקלרית הזווית בינהם היא 0 ונקבל את המרחק הכי גדול). והעלייה הכי מתונה תהיה בכיוון המנוגד לכיוון הגרדיאנט. ויהיה שיוויון 0 אם וקטור הכיוון ניצב לכיוון הגרדיאנט.

זה נושא מורכב ואין סיבה לפרט עליו לבחינה, שכן היא יותר טכנית

מישור משיק, דיפרנציאביליות

משוואת המישור משיק

z - z_{0} = f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0})

כאשר $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ מתאר את נקודת ההשקה הרצויה.

קיצון מקומי

מציאת הנגזרות החלקיות והשוואה ל $0$ .
פתירת מערכת המשוואות ${\begin{cases} f_{x} = 0 \\ f_{y} = 0 \end{cases}$
ניקח נקודות חשודות לקיצון, אלו יהיו הנקודות שמאפסות את שתי הנגזרות.
סיווג הנקודות

נגזור את הנגזרות החלקיות כלומר , נגזרת שנייה $f_{x x}, f_{x y}, f_{y y}, f_{y x}$ ונבנה איתן מטריצת הסיאן

H_{f} = (\begin{matrix} f_{x x} & f_{x y} \\ f_{y x} & f_{y y} \end{matrix})

כעת נחשב את ה $d e t$ של מטריצה זו $f_{x x} f_{y y} - f_{x y} f_{y x}$

אם $d e t > 0$ זאת נקודת קיצון מקומי
1. $f_{x x} > 0$ זאת נקודת מינימום מקומי
2. $f_{x x} < 0$ זאת נקודת מקסימום מקומי
אם $d e t < 0$ זאת נקודת אוכף.

קיצון מוחלט עם אילוצים (כופלי לגרנאז׳)

באינפי 1 היינו מבקשים מציאת קיצון מוחלט בקטע $I$ כלשהו. כאן ניתן לתת מגוון רחב יותר של הגבלות.

נרצה למצוא מקסימום או מינימום מוחלט של $f (x, y)$ בקבוצה המוגדרת על ידיהאילוץ $g (x, y) = 0$ - המישור. (המשמעות הגיאומטרית היא כל הנקודות על היקף המישור)

כופלי לגראנז

נבנה מערכת משוואות ${\begin{cases} ▽ f = λ ▽ g \\ g (x, y) = 0 \end{cases}$ ונפתור אותה.
מציבים את הנקודות המתקבלות בפונקצייה $f (x, y)$ , הנקודה הכי גבוהה היא מקסימום מוחלט והכי נמוך, מינימום מוחלט.

הסיבה שזה עובד היא בגלל משפט ווירשטראס בנעלם אחד אנחנו מכירים שאם פונקצייה היא רציפה וחסומה בקטע סגור אז היא מקבלת מינימום ומקסימום בקטע.
במרחב שלנו, היא מקבלת מינימום ומקסימום על כל קבוצה סגורה וחסומה .
המשמעות המתמטית היא שכל סדרת נקודות שניקח בקבוצה תהיה שייכת לקבוצה עצמה (זאת קבוצה סגורה, היא תקרא גם חסומה אם היא קבוצה המכילה גם את הקצוות שלה).

ניתן לבקש אילוץ מורכב יותר, לא רק מה שעל היקף המישור אלא גם מה שבתוכו , זה ייראה מהצורה

g (x, y) \leq 0

תחום זה כמובן רחב יותר..

נרצה למצוא נקודות חשודות על ההיקף כמו מקודם (כלומר במצב של שיוויון).
נמצא נקודות חשודות לפי הגרדיאנט, את הנקודות שלא בתחום , נוציא.
נציב את כל הנקודות שקיבלנו בערכי הפונקצייה ונקח את המקסימום והמינימום.

אילוץ נוסף שיכולים לתת לנו הוא תחום סגור $D$ המורכב מכמה משוואות שונות (ישרים או מישורים).
הבעיה העיקרית של אילוץ זה תהיה למצוא את הנקודות על ההיקף, הפתרון יהיה להבין איך המישור מתנהג במרחב הפונקצייה שלנו , נבטא את $y$ באמצעות $x$ ונציב בפונקצייה, כעת קיבלנו פונקצייה מאינפי 1 ונוכל למצוא את הנקודה החשודה לקיצון על ידי גזירה רגילה.

אינטגרלים כפולים (מסויים)

מייצג את הנפח בתחום כלשהו.

סימון אינטגרל כפול

\int_{D} \int f (x, y) d x d y

ניתן לסמן את $d x d y$ כ $d A$ .(מסמל את אלמנט השטח הקטן במישור).
כמו כן $D$ היא קבוצה סגורה וחסומה.

נרצה לייצג אותו באמצעות אינטגרל חוזר שמסומן כך:

\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x, y) d y d x

במקרה זה יש חשיבות לסדר ה $d$ זה בהתאם לאיך מוגדרת הקבוצה ומאיפה.

באינטגרלים חוזרים עושים קודם את הביטוי הפנימי ואז את החיצוני כאשר מתייחסים לנעלם החיצוני כקבוע..

מעבר בין אינטגרל כפול לאינטגרל חוזר

בהינתן $D$ קבוצה סגורה וחסומה.

נבין איך היא נראת ויזואלית במישור
מבטאים את האטינגרל הכפול על ידי אינטגרל חוזר באופן הבא
1. בוחרים $x$ או $y$ ורושמים את הגבולות המספריים שלו. (החיצוני)
2. רושמים את הגבולות של המשתנה השני (הפנימי).
פותרים את האינטגרל החוזר

למשל

\int_{D} \int x \cos (y) d x d y

כאשר $D$ הוא מלבן שקודקודיו הם :

(0, 0), (0, 5), (8, 0), (8, 5)

D = {(x, y) : 0 \leq x \leq 8, 0 \leq y \leq 5}

כעת נרשום את האינטגרל באופן הבא:

\int_{0}^{8} \int_{0}^{5} x \cos (y) d y d x

הסדר הוא לפי התחומים שבחרנו לקחת .

לעתים נקבל תחומים מורכבים יותר ואינטגרלים שעדיף לבנות אותם בצורה מוסיימת.

דוגמה מורכבת יותר:

\int_{D} \int y d x d y

כאשר $D$ היא התחום הכלוא בין $y = - x + 5$ והמעגל $x^{2} + y^{2} = 25$

Pasted image 20220718143529.png

התחום של $x$ הוא בין $0$ ל $5$ אבל ערכי $y$ נעים בשטח האדום הנ״ל ולכן זה קצת יותר מורכב ערכי ה $y$ תלויים ב $x$ שנבחר והם יהיו בין ערך ה $y$ שנקבל ממשוואת הישר לבין הבידוד של $y$ ממשוואת המעגל ולכן

\int_{0}^{5} \int_{- x + 5}^{\sqrt{25 - x^{2}}} y d y d x

ומפה לפתור את האינטגרל זה כבר קל.
חשוב לשים לב שאם יש בתחום ביטוי עם $x$ אז האינטגרל הפנימי צריך להיות ביחס ל $d y$ .

החלפת סדר אינטגרצייה

החלפת סדר האינטגצייה מאפשר להקל על תהליך החישוב, צריך לשים לב שהתחומים עלולים להשתנות אם יש תלוי של $x$ ב $y$ או הפוך , למשל :

\int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{x}} f (x, y) d y d x

נשים לב, שערכי $x$ הם בן $0$ ל $2$ ו
$0 \leq y \leq \sqrt{x}$ .

אם נרצה להחליף נרצה ש $x$ יהיה תלוי בערכי $y$ ולא הפוך ולכן זה ייראה מהצורה

\int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{y^{2}}^{2} f (x, y) d x d y

בעצם זה מעין הפונקצייה ההופכית למה שהיה קודם..

תרגיל - החלפת סדר אינטגרצייה..

\int_{0}^{4} \int_{3 x^{2}}^{12 x} f (x, y) d y d x

Pasted image 20220718150222.png
נשים לב נקודת החיתוך של שתי הפונקציות עם הגבולות של $x$ זהות ולכן המגבלה של $y$ בלי תלות של $x$ היא פשוטה

\int_{0}^{48} (\dots d x) d y

כעת נרצה לחלץ את ערכי $x$ , לפני כן ידענו ש

3 x^{2} \leq y \leq 12 x

נחלץ את $x$ משני האגפים ונקבל

\begin{matrix} x \geq \frac{y}{12} \\ x \leq \sqrt{\frac{y}{3}} \end{matrix}

סך הכל נקבל :

\int_{0}^{48} \int_{\frac{y}{12}}^{\sqrt{\frac{y}{3}}} f (x, y) d x d y

קורדינטות קוטביות - החלפת משתנים באמצעות הצגה קוטבית

באופן כללי יש את הנוסחה שאנחנו מכירים עם מטריצת יעקוביאן כדי לעבור מקבוצה חסומה וסגורה $D$ לקבוצה $A$ על ידי הצבת משתנים.

נתמקד ברעיון הספציפי שמאפשר להחליף משתנים באופן מסוים על ידי שימוש בקורדינטוץ קוטביות

\begin{matrix} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \\ d x d y = r d r d θ \end{matrix}

ההצגה של נקודה שאנחנו מכירים נקראת קרטזית
הצגה קוטבית זה הצגה לפי זווית $θ$ ומרחק $r$ .

נשתמש בקודרינטות קוטביות שלפחות אחד מהשניים מתקיים

אם תחום $D$ הוא מעגלי או חלק חלק ממעגל.
ב $f (x, y)$ מופיע $x^{2} + y^{2}$ (ברגע שנעביר להצגה קוטבית נשאר עם $r^{2}$ ).

תרגיל
לחשב את

\int_{D} \int \sin (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d x d y

כאשר $D = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 1}$

נעביר להצגה קוטבית כיוון שהתחום הוא מעגל

\int_{D^{'}} \int \sin (\sqrt{r^{2}}) r d r d θ

כעת נשאר להבין מהו התחום החדש $D^{'}$

D^{'} = {r \in [0, 1], θ \in [0, 2 π]}

סה״כ נציב את התחום ונקבל

\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} \sin (r) \cdot r d θ d r \dots

מפה אפשר לפתור בחלקים...

טיפ
$\tan (x)$ כאשר $x$ זאת הזווית עם ציר ה $x$ תתן את שיפוע הישר $m$ .
$\arctan (m)$ תיתן את הזווית $x$ עם ציר האיקס של הישר ששיפועו $m$ .