#calculus #computer_science

סדרות של פונקציות

אחד ממושגי המפתח של אינפי היה מושג ההתכנסות של סדרת מספרים. נרצה לפתח מושג דומה עבור סדרות של פונקציות. ונרצה גם לשאול איזה מהתכונות של איברי הסדרה של סדרת פונקציות עוברות לפונקצייה שהיא הגבול שלהן.

התכנסות נקודתית של סדרות פונקציות

סדרת פונקציות היא סדרה $(f_{n})_{n = 1}^{\infty}$ שכל אחד מאיבריה הוא פונקצייה. אם כל פונקצייה בסדרה מוגדרת בנקודה $x_{0}$ אז על ידי הפעלת כל אחת מהפונקציות על נקודה זאת נקבל סדרה של מספרים ממשיים $(f_{n} (x_{0}))_{n = 1}^{\infty}$ . ייתכן שסדרה זו מתכנסת וייתכן שלא, תלוי בערכי הנקודה...

לדוגמה: לכל $n$ נגדיר $e_{n} : R \to R$ על ידי

e_{n}(x)=(1+ \frac{x}{n})^{n}$$ נשים לב שלכל $x$ נקבל סדרה השואפת ל $e^{x}$ לפי חוקים של אינפי 1. ולכן יתקיים   $$\forall_{x\in\mathbb{R}}:\lim_{n\to\infty}e_{n}(x)=e^{x}$$  זאת נקראת __הפונקצייה הגבולית__ .  __הגדרה__ תהי $(f_{n})_{n=1}^{\infty}$ סדרה של פונקציות המוגדרות כולן בקבוצה $A\subseteq{\mathbb{R}}$. ותהי $f$ פונקצייה המוגדרת ב $A$. $f$ תיקרא __הפונקצייה הגבולית__ או __הגבול הנקודתי__ של הסדרה $(f_{n})_{n=1}^{\infty}$ ב$A$, אם לכל $x\in A$ הסדרה $(f_{n}(x))_{n=1}^{\infty}$ מתכנסת ל $f(x)$. במצב זה אומרים שהסדרה $(f_{n})_{n=1}^{\infty}$ מתכנסת נקודתית לפונקצייה $f$.  נאמר ש $f_{n}\rightarrow f$ נקודתית, אם לכל $x\in A$ ולכל $\varepsilon>0$ קיים $N$ כך ש $$\forall_{n>N}:|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon

כלומר לכל נקודה שנבחר ולכל אפסילון יהיה אינדקס שהחל מאחריו התמונות ייתכנסו לתמונה של הפונקצייה הגבולות (לכל נקודה יכולה להיות $N$ אחר).
למשל התכנסות נקודתית של $x^{n}$
Pasted image 20220717131214.png|350

התכנסות במ״ש של סדרות פונקציות

התכנסות נקודתית של פונקציות משמעותה היא שבכל נקודה בנפרד התמונות מתכנסות.
התכנסות במידה שווה מבוסס על הרעיון שפונקציות הן קרובות זו לזו אם הן קרובות בו זמנית בכל נקודה.

הגדרה
נאמר ש $(f_{n})_{n = 1}^{\infty}$ סדרת הפונקציות המוגדרות כולן ב $A \subseteq R$ מתכנס במידה שווה (במ״ש) ל $f$ המוגדרת ב $A$ , אם לכל $ε > 0$ קיים $N$ כך ש

\forall_{n > N, x \in A} : | f_{n} (x) - f (x) | < ε

מבחינה גיאומטרית , זה מבקש שלכל פס רוחב $ε$ שנצייר סביב הפונקצייה הגבולית $f$ , יהיה איזשהו אינדקס שלאחריו, כל הפונקציות בסדרה נמצאים בתוך פס הרוחב הזה לכל ערכי $x$ בקטע . זה שונה מההגדרה של התכנסות נקודתית שמבקשת שלכל נקודה יהיה אינדקס משלה, כאן אנחנו רוצים שלכל הנקודות יהיה את אותו אינדקס עבור פס רוחב כלשהו.
Pasted image 20220717133417.png|350

משפט אם $f_{n}$ מתכנס במ״ש ל $f$ ב $A$ אז היא גם מתכנסת נקודתית ל $f$ בקטע $A$ .
(כמובן שמזה נובע ה cp של הטענה שאם אין התכנסות נקודתית אז בכל לאין התכנסות במ״שׁ).
נשים לב שלמשפט זה יש משמעות פרקטית, המועמד היחיד להתכנסות במ״ש הוא הפונקצייה הגבולית.

תנאי קושי נאמר ש $(f_{n})_{n = 1}^{\infty}$ סדרת הפונקציות המוגדרות כולן ב $A \subseteq R$ מתכנס במידה אם לכל $ε > 0$ קיים $N$ כך ש

\forall_{n, m > N, x \in A} : | f_{n} (x) - f_{m} (x) | < ε

משפט תהי $f_{n}$ סדרת פונקציות המתכנסת נקודתית ל $f$ בקטע $A$ , נגדיר

d_{n} = sup_{x \in A} | f_{n} (x) - f (x) |

במילים, לכל פונקצייה בסדרה מחשבים את המרחק הגדול ביותר בין התמונות של אותה פונקצייה לתמונה של הפונקצייה הגבולית, מזה בונים סדרה.

$f_{n}$ מתכנסת במ״שׁ ל $f$ אם ורק אם $lim_{n \to \infty} d_{n} = 0$ .

אלגוריתם בדיקת התכנסות במ״שׁ

לבדוק התכנסות נקודתית ומציאת הפונקצייה הגבולית אם יש כזאת.
מציאת $d_{n}$ , נוכל למצוא אותו על ידי בנייה של איבר כללי בסדרה כלומר, נתייחס ל $n$ כקבוע, ונתייחס ל $d_{n}$ כפונקצייה, נוריד את הערך המוחלט אם אפשר, ונשתמש בכללי גזירה של פונקציות כדי למצוא מקסימום (בהינתן וזאת פונקצייה רציפה וגזירה וכו..). אם אי אפשר להוריד את הערך המוחלט בדרך מתמטית, נסיר אותו ונמצא גם את איברי המינימום, וניקח את המקסימום בינהם בערך מוחלט.
בדיקה האם הסדרה $d_{n}$ שואפת ל0.

נשים לב נקודת מקסימום מקומי יחידה בקטע $I$ כלשהו, תהיה מקסימום מוחלט באותו קטע אם היא נקודה חשודה לקיצון יחידה.

נשים לב לעתים לא חובה למצוא את $d_{n}$ עצמו, אלא ניתן להראות שהוא גדול יותר מסדרה ששואפת למספר שאינו $0$ . אם זה המצב אז $d_{n}$ בהכרח לא שואפת ל $0$ גם כן. באותו אופן , אם היא קטנה יותר מסדרה ששואפת ל $0$ אז היא בהכרח שואפת ל $0$ לפי משפט הסנדוויץ .

גבולות במ״שׁ של פונקציות רציפות

שאלנו איזה תכונות של סדרת פונקציות עוברות אל פונקציית הגבול... כעת נענה על כך :
תהי $f_{n}$ סדרת פונקציות המתכנסת במ״ש ל $f$ בתחום התכנסות $I$ אזי:

אם כל הפונקציות בסדרה רציפות אז $f$ רציפה. כלומר שאם כל הפונקציות בסדרה רציפות אבל הפונקצייה הגבולית לא אז אין התכנסות במ״שׁ.
אם $f_{n}$ סדרה מונוטונית של פונקציות רציפות בקטע סגור $I$ (כלומר שלכל $x$ בקטע $f_{n + 1} (x) \leq / \geq f_{n} (x)$ ) . אם היא מתכנסת נקודתית ל $f$ ו $f$ רציפה, אז היא בהכרח גם מתכנסת במ״ש.
אם $I$ קטע סגור אז $lim_{n \to \infty} \int_{I} f_{n} (x) = \int_{I} f$ .
אם $h_{n}$ היא סדרה של פונקציות גזירות ברציפות בקטע $I$ . ונניח שקיימת נקודה $x_{0} \in I$ שבה $h_{n} (x_{0})$ מתכנסת. אזי אם סדרה הנגזרות $h_{n}^{'}$ מתכנסת במ״ש לפונקצייה $g$ . אזי $h_{n}$ מתכנסת נקודתית בכל הקטע לפונקצייה $h$ ומתקיים $h^{'} = g$ .