#abstract_algebra #computer_science

משפטי האיזומורפיזמים של נתר

שלושת משפטי האיזומורפיזמים של נתר לחבורות הם משפטים יסודיים המקשרים בין הומומורפיזמים, חבורות מנה ותת־חבורות נורמליות. יש משפטים דומים למבנים אלגבריים אחרים, כולל הכללות בתחום של אלגברה אוניברסלית.נעסוק רק במשפט האיזומורפיזמים הראשון, שהוא העיקרי והשימושי מבין משפטי האיזומורפיזמים (את האחרים מוכיחים בעזרתו). למעשה, הוא כה שימושי שכאשר נרצה להוכיח איזומורפיזם בין חבורת מנה לחבורה אחרת, כמעט תמיד נשתמש בו.
נרצה לדבר על כל אלה לפני שנגדיר את המשפט עצמו.

חבורה נורמלית

הגדרה: תהי $G$ חבורה ותהיינה $A, B \subseteq G$ נגדיר

A \cdot B = {a b | a \in A, b \in B}

המקרה הפרטי הוא על $G$ חבורה ו $H \leq G$ . המחלקות $a H, b H$ יקיימו

(a H) (b H) = {x y | x \in a H, y \in b H}

תת חבורה נורמלית היא תת חבורה $H \leq G$ המקיימת

\forall_{a \in G} : a H = H a

נסמן תת חבורה נורמלית $H$ של $G$ על ידי $H ◃ G$ .

משפט: עבור $H ◃ G$ מתקיים

\forall_{a, b \in G} : (a H) (b H) = (a b) H

תכונות של תת חבורה נורמלית שקולות

$g H g^{- 1} = H$
$g H g^{- 1} \subseteq H$
$g h g^{- 1} \in H$

משפט: אם $G$ אבלית ו $H \leq G$ אזי $H$ נורמלית.

חבורת המנה

קבוצת המנה היא אוסף המחלקות השמאליות $G / H$ כאשר $H ◃ G$ .
חבורת המנה מוגדרת להיות $(G / H, *)$ כאשר הפעולה שהגדרנו היא $(a H) (b H)$

הבחנה

נשים לב ש $| G / H | = [G : H] = \frac{| G |}{| H |}$

משפט יהי $f : G \to H$ הומומורפיזם אזי $\ker (f) ◃ G$ .

משפט האיזומורפיזם הראשון

יהי $f : G \to H$ הומומורפיזם אזי $G / \ker (f) ≅ I m (f)$ .

מסקנות:

אם $f$ על אז $G / \ker (f) ≅ H$ .
אם $f$ חח״ע אז $G ≅ I m (f)$ .
אם $f$ הפיכה אז $G ≅ H$ .