#abstract_algebra #computer_science

חבורה

הגדרה: חבורה $G$ היא קבוצה יחד עם פעולה $\cdot$ כך שהתכונות הבאות מתקיימות :

סגירות: $\forall_{a, b \in G} : a \cdot b \in G$
אסוציטיביות: $\forall_{a, b, c \in G} : (a b) c = a (b c)$
ניטרליות: $\exists!_{e \in G} \forall_{a \in G} : e \cdot a = a \cdot e = a$
הופכיים: $\forall_{a \in G} \exists!_{a^{- 1} \in G} : a \cdot a^{- 1} = a^{- 1} \cdot a = e$

חבורה המקיימת חילופיות $a b = b a$ נקראת חבורה אבלית.
דוגמאות:

$G L_{n} (F)$ המטריצות ההפיכות עם פעולת כפל.
$(Z, +)$ השלמים עם פעולת החיבור (חבורה אבלית)
$(S_{A}, \circ)$ חבורת התמורות של $A$ יחד עם פעולת ההרכבה.

נוכיח לדוגמה את $(S_{A}, \circ)$

סגירות נוסעת כי תמורה היא פונקצייה הפיכה , לכן אם ניקח שתי תמורות מ $S_{A}$ הרכבתן תהיה פונקצייה הפיכה מאותו תחום לטווח ולכן גם היא תמורה בקבוצה.
אסוציטיביות נובעת גם כן מחוקי הרכבה.
האיבר הניטרלי הוא פונקציית הזהו $I_{A}$ או תמורת הזהות.
כמובן שלכל תמורה יש פונקצייה הופכית לה שהיא גם מהתחום והטווח של $S_{A}$ ולכן היא שייכת לקבוצה זו.

נשים לב שהפעולה $\cdot$ היא לא פעולת הכפל אלא פעולה בינארית על קבוצה (היא יכולה להיות כל דבר שנגדיר).
פעולה בינארית על קבוצה $S$ היא פונקציה דו מקומית $* : S \times S \to S$ עבור $a, b \in S$ . כמעט תמיד נרשום $a * b$ או $a \cdot b$ או סימון אחר שמייצג את הפעולה אם יש כזה, במקום לרשום $* (a, b)$ .

מכפלה קרטזית של חברות

תהיינה $G, H$ חבורות עם הפעולות $\circ_{G}, \circ_{H}$
נגדיר: $G \times H$ אוסף כל הזוגות $(g, h)$ . נוכיח שזאת חבורה עם הפעולה הבאה

(g_{1}, h_{1}) \circ (g_{2}, h_{2}) = (g_{1} \circ_{G} g_{2}, h_{1} \circ_{H} h_{2})

הסגירות והאסוציטיביות נובעת מהסגירות והאסוציטיביות ב $H, G$ .
האיבר הניטלי יהיה הזוג $(e_{G}, e_{H})$ וההופכים יהיה $(g^{- 1}, h^{- 1})$

מבנים חשובים באמצעות חבורה

חוג

חוג $R$ הוא קבוצה יחד עם $+, \cdot$ כך ש :

$(R, +)$ חבורה אבלית
הפעולה $\cdot$ תקיים עם $R$ - סגירות, אסוציטיביות ואיבר יחידה.
פילוג

\forall_{a, b \in R} : a (b + c) = a b + a c

נשים לב שלא בהכרח מתקיים חילופיות במצב זה $(b + c) a \neq a (b + c)$ .

דוגמאות:

החוג $F^{n \times n}$
חוג השלמים $Z$
חוג השאריות $Z_{n}$ (כל הפעולות מודולו $n$ )
חוג הפולינומים

חוג השאריות

עבור $n \in N$ , $Z_{n} = {0, 1, \dots, n - 1}$ ויתקיים

a + b = (a + b) m o d n

a \cdot b = (a \cdot b) m o d n

חוג השאריות הוא שדה אם ורק אם $n$ ראשוני .

שדה

שדה הוא קבוצה $F$ יחד עם הפעולות $+, \cdot$ כך ש

$(F, +)$ חבורה חילופית
$(F / {0_{F}}, \cdot)$ חבורה חילופית
פילוג

נשים לב, החבורה הקטנה ביותר היא ${e}$ והשדה הקטן ביותר הוא $Z_{2} = {0, 1}$

אגודה

אגודה נקראת גם חבורה למחצה והיא בעצם $H = (S, \cdot)$ המקיימת

סגירות
אסוציטיביות

אגודה לדוגמה :
$\begin{matrix} (N, +) \end{matrix}$ - הטבעיים עם פעולת החיבור הרגיל.

מונואיד

מונואיד או יחידון $(M, *, e)$ הוא אגודה בעל איבר יחידה $e$ .

הגדרה: איבר $a \in M$ ייקרא הפיך משמאל אם קיים איבר $b \in M$ כך ש $b a = e$ . במצב זה b ייקרא הופכי שמאלי של a.
בדומה, $a$ יהיה הפיך מימין אם $a b = e$ ובמצב זה b ייקרא הופכי ימני של a.
איבר ייקרא הפיך אם יש לו הופכי ימני ושמאלי.

למעשה נשים לב שחבורה היא מונואיד שכל איבר הוא הפיך

תכונת הצמצום

תהי חבורה $G$ ויהיו $a, b, c \in G$ כך ש $a b = a c$ אז $b = c$ .
הוכחה:

\begin{matrix} a b = a c \\ a^{- 1} (a b) = a^{- 1} (a c) \\ (a^{- 1} a) b = (a^{- 1} a) c \\ e b = e c \\ b = c \end{matrix}

הטענה הזאת עובדת גם אם $b a = c a$

תכונות של חבורות

חזקות

$a^{n} = \underset{n times}{\underset{⏟}{a \cdot a \dots a}}$
$a^{0} = e$
$a^{- n} = (a^{- 1})^{n}$
$g^{- n} = (g^{- 1})^{n}$
$(g^{n})^{m} = g^{n m}$
$g^{n} \cdot g^{m} = g^{m + n}$
$(g h)^{n} = g^{n} h^{n}$ - אם החבורה היא אבלית

הופכי

$(a^{- 1})^{- 1} = a$
$(a b)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}$
ההופכי הוא יחיד.

צורת הרישום

נשים לב שאומנם הסימונים הם בכפל אבל אם הפעולה המוגדרת על החבורה היא חיבור אז הסימון של חזקה למשל יסומן כ $n a$ . בכל מקרה תמיד חזקות שליליות הן חיוביות של ההופכי.

חבורות אבליות

נאמר כי חבורה $(G, *)$ היא אבלית אם לכל שני איברים בחבורה $a, b \in G$ יתקיים $a * b = b * a$ . איברים שמקיימים את התכונה הזאת נקראים איברים מתחלפים. נוכל להגיד שחבורה $G$ היא אבלים אמ״מ כל איברים מתחלפים.
דוגמה לחבורה אבלית: מרחב וקטורי V יחד עם פעולת חיבור וקטורים רגילה היא חבורה אבלית.

טענה: בהינתן חבורה $G$ , אם לכל $x \in G$ מתקיים $x^{2} = e$ אזי $G$ היא חבורה אבלית.
ההוכחה יחסית פשוטה, ניקח שתי איברים $a, b \in G$ ואלו יקיימו

(a b)^{2} = a^{2} = b^{2} = e

אם כן נקבל

a b a b = a a = b b = e

כעת מתכונת הצמצום נקבל

b a b = a

כעת עבור המשוואה השמאלית נכפיל בהופכי של $b$ הלוא הוא $b$ בעצמו ונקבל

b b a b = b a \to e a b = b a \to a b = b a

מרכז של חבורה

מרכז של חבורה הינו מתאר מצב שבו יש מספר מסויים של איברים שמתחלפים בחבורה אבל היא אינה אבלית.
המרכז של חבורה $G$ הוא

Z (G) = {g \in G | \forall_{h \in G} : g h = h g}

כלומר, אוסף כל האיברים ב $G$ שמתחלפים עם כל איברי $G$ .

משפט חבורה $G$ היא אבלית אמ״מ $Z (G) = G$ . כמו כן לכל חבורה יתקיים $Z (G)$ היא תת חבורה אבלית של $G$ .