Cayley's And Lagrange theorem

#abstract_algebra #computer_science

הומומורפיזם

תהיינה $H, G$ חבורות ותהי $f : G \to H$ פונקצייה. נגיד ש $f$ היא הומומורפיזם אם

\forall_{a, b \in G} : f (a \cdot b) = f (a) \cdot f (b)

איזומורפיזם - הוא הומומורפיזם $f$ שמקיים הפיכות. (כלומר קיימת לו $f^{- 1}$ ). נסמן קיימות של איזו׳ עם $G ≅ H$ או $H ≅ G$ . איזומורפיזם $h : G \to G$ נקרא אוטומורפיזם.

הבחנה אם $G ≅ H$ אז מ עוצמות אנחנו יודעים ש $| G | = | H |$ . למרות שאין זה אומר שההפוך יגרור איזו׳ למשל עבור $Z_{4}, Z_{2} \times Z_{2}$ בין אלו אין איזומורפיזם.

שיכון - הוא הומומורפיזם חח״ע. נסמן קיימות של שיכון עם $G ↪ H$ .

הבחנה הומומורפיזם $f$ ייקרא שיכון אמ״מ $k e r (f) = {e_{G}}$ . ההוכחה בכיוון אחד ברורה אבל בכיוון השני אם נניח שהגרעין הוא כנ״ל ונב״ש שהפונקצייה אינה חח״ע כלומר קיים $a_{1} \neq a_{2}$ כך ש $f (a_{1}) = f (a_{2})$ אז היה מתקיים

f (a_{1}) \cdot (f (a_{2}))^{- 1} = f (a_{1}) f (a_{2}^{- 1}) = f (a_{1} a_{2}^{- 1}) = e

ומצאנו איבר נוסף ששולח לאיבר הניטרלי בסתירה.

אפימורפיזם - הוא הומומורפיזם על. נסמן קיימון של אפימורפיזם עם $G ↠ H$

הבחנה

אם $f : A \to B$ חח״ע אז $f : A \to I m (f)$ הפיכה.

משפט עבור $f : G \to H$ הומומורפיזם מתקיים $f (e_{G}) = e_{H}$ .
הוכחה:

\begin{matrix} f (e_{G}) = f (e_{G} \cdot e_{G}) = f (e_{G}) \cdot f (e_{G}) \\ ↓ \\ f (e_{G}) (f (e_{G}))^{- 1} = f (e_{G}) \cdot f (e_{G}) (f (e_{G}))^{- 1} \\ e_{H} = f (e_{G}) \end{matrix}

הבחנה

מתקיים עבור f הומומורפיזם

f (a^{- 1}) = (f (a))^{- 1}

כדי להוכיח שכך הדבר נרצה להראות ש $f (a^{- 1})$ הוא ההופכי של $f (a)$ . אכן זה מתקיים כי

f (a^{- 1}) f (a) = f (a^{- 1} a) = f (e_{G}) = e_{H}

נוכל להכליל את המקרה הנ״ל ולומר ש $f (a^{n}) = (f (a))^{n}$

הגדרה
עבור $f : G \to H$ הומומורפיזם נגדיר

\begin{matrix} \ker (f) = {g \in G | f (g) = e_{H}} \\ I m g (f) = {f (g) | g \in G} \end{matrix}

אלו הם תתי חבורות של $G$ ו $H$ בהתאמה.

משפט: יהי $f : G \to H$ הומומורפיזם. מתקיים כי לכל $g \in G$ מסדר סופי $o (f (g)) | o (g)$ .
הוכחה-
נסמן $o (g) = n$ ולכן $g^{n} = e_{G}$ . אם נפעיל את $f$ נקבל

f (g^{n}) = (f (g))^{n} = f (e_{G}) = e_{H}

כעת מהטענה שהראנו עלסדר האיברים אם נעלה איבר בחזקת $n$ נקבל $e$ אמ״מ הסדר של האיבר מחלק את $n$ כלומר נוכל להסיק כי $o (f (g)) | n$ .

נשים לב כעת נוכל להסביר למה אין איזומורפיזם בין $Z_{4}, Z_{2} \times Z_{2}$ . אנחנו יודעים ש $Z_{4} = ⟨ 1 ⟩$ ושהסדר שלה הוא $4$ לכן אם הייתה $f$ איזומורפיזם אנחנו יודעים שצריך שיתקיים ש $4 | o (Z_{2} \times Z_{2})$ אבל הראנו שהסדר של המכפלה הישרה במקרה הזה חסום על ידי $2$ ולכן 4 לא יכול לחלק אותו.

הבחנה

כל חבורה ציקלית היא איזומורפית או ל $Z_{n}$ או ל $Z$ .

על מה שומר איזומורפיזם?

אבליות, ציקליות, סדרים של איברים, סדר של החבורה, תת-חבורות. אם אחד מהם לא מתקיים אין איזומפריזם!

משפט אם $a, b$ זרים אז $Z_{a} \times Z_{b} ≅ Z_{a b}$

הקשר בין איבר לתמורה

נרצה לאחר שהגדרנו יחסים בין חבורות להראות שניתן לבנות שיכון בין כל חבורה לחבורת התמורות. נשים לב לקשר הבא בין איבר לתמורה שלו

⟨ (1, 2, 3) ⟩ = {I, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}

למה זה נכון? תחת $S_{3}$ מתקיים

(1, 2, 3) (1, 2, 3) = (1, 3, 2)

(1, 2, 3)^{3} = (1, 3, 2) (1, 2, 3) = (1) (2) (3) = I

באופן דומה נחשב ונקבל

⟨ (1, 3, 2) ⟩ = {I, (1, 3, 2), (1, 2, 3)}

נסמן אותן כ $f = ⟨ (1, 2, 3) ⟩, g = ⟨ (1, 3, 2) ⟩$ ונקבל

g \circ f = f \circ g = I

כלומר מצאנו איזומורפיזם בין השניים.

משפט קיילי

שיכון קיילי

עבור חבורה $G$ ו $a \in G$ נגדיר את הפונקצייה המתאימה ל $a$ על ידי $f_{a} : G \to G$ על ידי

f_{a} (x) = a \cdot x

פונקצייה זו היא תמורה (לא אוכיח זאת כאן) כלומר $f_{a} \in S_{G}$ .

כעת נגדיר שיכון קיילי להיות $φ : G \to S_{G}$ על ידי

φ (a) = f_{a}

משפט קיילי

משפט קיילי אומר שקיים שלכל חבורה $G$ קיים שיכון בין $G$ ל $S_{G}$ והשיכון הזה הוא $φ$ .
המסקנה המתבקשת היא לאור מה שאמרנו היא שיש איזומורפיזם בין $G$ ל $I m g (φ)$ .

משפט לגראנז

מחלקה

תהי $G$ חבורה ותהי $H \leq G$ ו $a \in G$ . המחלקה השמאלית של $a$ על $H$ מוגדרת להיות

a H = {a h | h \in H}

באופן דומה נגדיר את המחלקה הימנית להיות $H a$ .
אוסף המחלקות השמאליות הוא $G / H$ .

נגדיר את יחס השקילות הבא על $G$ :
$a \sim b \leftrightarrow a^{- 1} \cdot b \in H$ , כיוון שמדובר ביחס שקילות (לא אוכיח זאת) הוא מחלק את $G$ למחלקות שקילות זרות שמכסות את כל החבורה.

מיהן מחלקות השליקות הללו?

[a]_{\sim} = {b \in G | a \sim b} = {b \in G | a^{- 1} b = h \in H} = {a h | h \in H} = a H

משפט

נשים לב שמחלקה שמאלית של חבורה עם תת חבורה נשארת באותו גודל כמו תת החבורה עצמה כלומר

| a H | = | H |

בגלל שאלו מחלקות שקילות נובעים מספר תכונות חשובות

$a H = b H \leftrightarrow a^{- 1} b \in H$ שכן במצב זה מתקיים מרפלקסיביות יחס השקילות שיש להן איבר משותף בסתירה לכך שמחלקות שקילות הן זרות.
$\forall_{b H, a H} : b H = a H \lor b H \cap a H = \emptyset$
$⋃_{g H \in G / H} g H = G$

סימון $[G : H]$ נקרא גם האינדקס של $H$ בתוך $G$ כלומר מוגדר להיות כמות המחלקות השונות.

משפט לגראנז

תהי $G$ חבורה סופית ותהי $H \leq G$ אזי $| G | = | H | \cdot | G : H |$

מסקנות חשובות מהמשפט

המסקנה החשובה ביותר היא

\frac{| G |}{| H |} = | G : H |

משפט כל חבורה בגודל ראשוני היא ציקלית
הוכחה- נניח $G$ חבורה כך ש $| G | = p$ ראשוני. לכל $a \in G$ שניקח נגדיר $H = ⟨ a ⟩$ ובהכרח מתקיימים שני דברים

$| H | \geq 2$
$| H | | | G | \to | H | | p$
והמספר היחיד שגדול מ 1 שיכול לחלק מספר ראשוני הוא המספר עצמו ולכן $| H | = p$ . כלומר: $H = G$ ולכן כאשר מספר האיברים בחבורה הוא ראשוני כל איבר הוא יוצר של החבורה.